روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته کارایی مناسب خود را برای حل معادلات دیفرانسیلی مشتقات جزیی حاکم بر مسائل مهندسی نشان داده است. این روش بر پایه کمینه کردن تابعک حداقل مربعاتی استوار است. تابعک حداقل مربعاتی به صورت مجموع وزن داری از باقیمانده ی معادله دیفرانسیلی و شرایط مرزی حاکم تعریف شده است. معمولا از تابع تخمین حداقل مربعات متحرک (MLS)، برای ساختن توابع شکل در روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته استفاده می شود. هرچند با استفاده از این نوع تابع تخمین سازگاری مورد نیاز توابع تخمین ارضا می شود، اما روش در صورت تجمع و نزدیکی بیش از اندازه گره ها کارآیی مناسب خود را از دست می دهد. در این مطالعه مشکل مطرح شده، با استفاده از تابع تخمین نوینی که حداقل مربعات متحرک نگاشتی (MMLS) نامیده شده است، برطرف شده است. در این روش خوشه های گرهی مجتمع به یک آرایش گرهی استاندارد نگاشت می یابند؛ سپس تابع تخمین و مشتقات آن با در نظر گرفتن ملاحظاتی محاسبه می شوند. کارایی روش تخمین پیشنهادی MMLS برای برطرف کردن مشکل تابع تخمین MLS با تخمین توابع ریاضیاتی مورد ارزیابی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده قابلیت روش پیشنهادی MMLS را جهت رفع مشکل نشان داده اند. تابع تخمین پیشنهادی در روش بدون حداقل مربعات گسسته مختلط استفاده شده و برای حل معادلات غیر خطی برگرز به کار گرفته شده است. نتایج بدست آمده کارایی و دقت بالای روش پیشنهادی را نشان می دهند.

مدل های ژئومغناطیس توصیفی جهان شمول از میدان مغناطیسی زمین را برای مقاصد علمی و کاربردی عرضه می نمایند. لیکن ازآنجایی که میدان ژئومغناطیس با گذشت زمان تغییر می نماید، دستیابی به مدلی که بتواند مقادیر میدان را در بازه های زمانی مختلف محاسبه نماید امری ضروری و بسیار پیچیده است. بدین منظور طی چند دهه گذشته تلاش های بسیاری برای ایجاد یک مدل جامع ژئومغناطیس با استفاده از ادغام داده های جمع آوری شده در دوره های زمانی مختلف صورت گرفته است. بررسی های زمانی و مکانی این داده ها نشان گر آن است که کلیه مؤلفه های میدان واقعی در بازه های زمانی معین همواره دارای یک مقدار متوسط می باشند که مقادیر لحظه ای حول آن نوسان می نماید. این نوسانات ناشی از برخی عوامل خارجی مؤثر بر میدان ژئومغناطیس می باشند که معمولا در مدل های مرجع میدان مغناطیسی زمین به دلیل دیدگاه جهانی چندان مورد توجه قرار نمی گیرد. لذا هدف از این مقاله بررسی نوسانات فرکانس بالای میدان مغناطیسی زمین و تخمین مؤلفه های مؤثر بر آن است. برای این منظور یک مدل ریاضی نوسانات میدان مغناطیسی ناشی از عوامل خارجی نظیر (فعالیت خورشیدی (SA)، دوره ماه (LA)، زمان محلی (LT) و روز سال (DOY)) مشتمل بر 270 پارامتر پیشنهاد شده و سپس با استفاده از مشاهدات طولانی مدت رصدخانه های میدان مغناطیسی و روش حداقل مربعات خطا به تخمین نوسانات فرکانس بالای میدان ژئومغناطیس پرداخته شده است. مقایسه مشاهدات واقعی رصد خانه ها با نتایج ناشی از تلفیق مدل مرجع و مدل محلی پیشنهادی این مقاله بیانگر افزایش 90 درصدی دقت محلی در مدل سازی میدان مغناطیسی زمین است. از سویی دیگر محاسبه مدل محلی در رصدخانه های مختلف و اعمال ضرایب تخمینی هر رصدخانه به رصدخانه دیگر نشان داد که مدل تغییرات محلی میدان مغناطیسی زمین برای عرض های جغرافیایی مختلف (در یک طول جغرافیایی) و همچنین در طول های جغرافیایی مختلف (در یک عرض جغرافیایی) متفاوت است. لذا تعیین ضرایب این مدل تنها به صورت محلی امکان پذیر بوده و با تغییر مختصات جغرافیای نسبت به مختصات محل رصدخانه از تأثیر آن کاسته می شود.

در این مقاله با استفاده از تکنیک جدید اقتصادسنجی به نام حداقل مربعات تطبیقی (ALS) به برآورد روند بلندمدت سالانه تولید ناخالص داخلی واقعی ایران می پردازیم. حداقل مربعات تطبیقی حالتی خاص از فیلتر کالمان (Kalman filter) است که مدل های دارای پارامترهای متغیر در زمان را به سادگی برآورد می کند. سپس از روند برآورد شده برای برآورد شکاف تولید استفاده می کند. در مدل دارای وقفه، مطابق نتایج، ضرایب وقفه ها به طور معناداری متفاوت از صفر نیست بنابراین مدل بدون وقفه به کار گرفته شد.نتایج این مقاله در برآورد شکاف تولید با استفاده از حداقل مربعات تطبیقی، در جدول هایی در مقاله ذکر شده است. می توان از این نتیجه ها در سایر تحقیق های اقتصادی به خصوص در سیاست گذاری های پولی استفاده کرد. این نتایج با برآورد فیلتر هدریک پرسکات (Hodrick-Prescott) و حداقل مربعات معمولی(OLS)  مقایسه شده است. مقایسه نتایج نشان از دقت بیشتر روش حداقل مربعات تطبیقی دارد.

در مطالعه حاضر، به منظور ارزیابی میدان جابجایی الاستیک و پس از آن پارامترهای شکست در مواد جامد الاستیک همگن ایزوتروپیک با وجود ترک های لبه ای و یا داخلی، از روش اجزاء محدود توسعه یافته و با تکنیک مجموعه تراز استفاده شد تا از معایب روش استاندارد اجزاء محدود جلوگیری شود. به منظور تعیین ضرایب شدت تنش و همچنین ضرایب ترم های مرتبه بالای ترک در حل سری مجانبی ویلیامز برای سازه های حاوی ترک در حالت های مختلف مود شکست از یک روش حداقل مربعات فرامعین و از طریق انطباق حل سری میدان جابجایی در اطراف نوک ترک بر تعداد زیادی از جابجایی های گره ای به دست آمده از روش اجزاء محدود توسعه یافته، استفاده شد. برای تایید و احراز صحت نتایج، چندین نمونه ترک دار در حالت های مختلف بارگذاری مود خالص اول، مود خالص دوم، و مود ترکیبی مورد بررسی قرار گرفت. مقایسه ای که با نتایج موجود در مراجع بر اساس فرمول بندی های دیگر صورت گرفته، میزان کارآیی و سادگی این روش را نشان داده و قابلیت آن را در شناسایی دقیق ضرایب شدت تنش و ضرایب ترم های مرتبه بالاتر ترک به اثبات می رساند.

انواع مختلفی از روش های بدون شبکه در سالهای اخیر برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی شده است که هر کدام داری مزایا و معایب مخصوص به خود می باشند. گسسته سازی مساله در بسیاری از روش های بدون شبکه به معادلات انتگرالی منجر می شود که حل آنها نیازمند انتگرالگیری عددی و معرفی نقاط گوس و وزنهای مربوطه همراه با شبکه بندی است. در این مقاله به روش های مختلف حداقل مربعات پرداخته و روش حداقل مربعات گسسته در حل معادلات دیفرانسیل به منظور دستیابی به معادلات ماتریسی و همچنین از حداقل مربعات وزنی داده ها با توابع وزنی اسپلاین مرتبه سه برای دستیابی به مقادیر توابع شکل استفاده شده است. اگرچه فرمولبندی حداقل مربعات گسسته در نهایت منجر به حجم عملیات بیشتری نسبت به سایر روش های می شود اما مهمترین مزایای این روش را می توان در حذف مراحل انتگرال گیری از روال محاسبه ماتریسهای ضرایب و همچنین پشتوانه بدون شبکه بودن آن در مفهوم واقعی دانست. صحت یابی فرمولبندی با حل مثال های یک بعدی از معادله برگر و معادله دیفرانسیل جابجایی پخش خطی و غیرخطی در حالت دایمی و زمان وابسته بررسی شده است.

در این پژوهش از روش طیف بینی مادون قرمز با تبدیل فوریه برای سنجش گونه های معدنی از جمله کلسیم، فسفر و مس در پودر ماهی استفاده شده است. روش های برگشتی بکار رفته شامل حداقل مربعات جزئی و حداقل مربعات جزئی کرنل می باشد. به طور کلی استفاده از این روش یک انتخاب مناسب برای سنجش روزمره گونه های معدنی در پودر ماهی است که امکان کنترل سریع پودر ماهی بدون آماده سازی قبلی را فراهم می سازد.